Se F(x, y, z) = x * y^2 * z^4 * i + (2 * x^2 * y + z) * j + y^3 * z^2 * k, ache nabla . F.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial e precisa encontrar o divergente desse campo, que é representado por . Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre como medir a “taxa de expansão” de um campo vetorial em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de , denotado por , é uma operação que combina as derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis. Matematicamente, para , temos:
Isso significa que vamos derivar cada componente de em relação à sua variável e depois somar tudo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada uma dessas componentes.

Passo 4

Calculando :
Aqui, tratamos e como constantes e a derivada de em relação a é 1.

Passo 5

Calculando :
Novamente, e são tratados como constantes. A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0.

Passo 6

Calculando :
Aqui, é tratado como constante. A derivada de em relação a é , então multiplicamos por .

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais encontradas:

Resposta

O divergente de é:

Exercícios relacionados

Seja S a parte do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S no plano x y. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial F = 3 z i + 4 x j + 2 y k.
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea ointC 2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36.
Seja Q a região delimitada pelo cilindro z=4-x^2, pelo plano y+z=5 e pelos planos x y e x z. Seja S a superfície de Q. Se F(x, y, z)=(x^3+sen z) i+(x^2 y+cos z) j+e^x^2+y^2, calcule integral duplaS F n d S.
Calcule as integrais: integral duplaR(x+y)^-2 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.