Se
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um campo vetorial
e precisa encontrar o divergente desse campo, que é representado por
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre como medir a “taxa de expansão” de um campo vetorial em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente. O divergente de
, denotado por
, é uma operação que combina as derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis. Matematicamente, para
, temos:
Isso significa que vamos derivar cada componente de
em relação à sua variável e depois somar tudo.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo
:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada uma dessas componentes.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, tratamos
e
como constantes e a derivada de
em relação a
é 1.
Passo 5
Calculando
:
Novamente,
e
são tratados como constantes. A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0.
Passo 6
Calculando
:
Aqui,
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
, então multiplicamos por
.
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais encontradas:
Resposta
O divergente de
é:
Exercícios relacionados
Seja
a parte do parabolóide
com
e seja
o traço de
no plano
. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial
.
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea
onde C é a elipse
.
Seja
a região delimitada pelo cilindro
, pelo plano
e pelos planos
e
. Seja
a superfície de
. Se
, calcule
.
Calcule as integrais:
, onde
.