Se F(x, y, z) = x * y^2 * z^4 * i + (2 * x^2 * y + z) * j + y^3 * z^2 * k, ache nabla x F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o cálculo do rotacional de um campo vetorial F. O rotacional, denotado por nabla x F, nos ajuda a entender como o campo está “girando” em cada ponto. Para isso, precisamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional. Se temos um campo vetorial , o rotacional nabla x F é dado por:
Ou seja, a gente calcula as derivadas parciais das componentes de F conforme mostrado.

Passo 3

Vamos identificar as componentes P, Q e R do nosso campo vetorial dado:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional.
Primeiro, vamos calcular e :

Passo 5

Agora, para a segunda componente do rotacional, precisamos de e :
  • (pois não há x em R)

Passo 6

Por último, para a terceira componente, calculamos e :

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O rotacional de F é:

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