Se F(x, y, z) = x * y^2 * z^4 * i + (2 * x^2 * y + z) * j + y^3 * z^2 * k, ache nabla x F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o cálculo do rotacional de um campo vetorial F. O rotacional, denotado por nabla x F, nos ajuda a entender como o campo está “girando” em cada ponto. Para isso, precisamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional. Se temos um campo vetorial , o rotacional nabla x F é dado por:
Ou seja, a gente calcula as derivadas parciais das componentes de F conforme mostrado.

Passo 3

Vamos identificar as componentes P, Q e R do nosso campo vetorial dado:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional.
Primeiro, vamos calcular e :

Passo 5

Agora, para a segunda componente do rotacional, precisamos de e :
  • (pois não há x em R)

Passo 6

Por último, para a terceira componente, calculamos e :

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O rotacional de F é:

Exercícios relacionados

Seja F(x, y)=(2 x+y^3) i+(3 x y^2+4) j
Mostre que integralC F cdot d x é independente do caminho.
Calcule as seguintes integrais definidas:
(5) integral1^2 1+3 x^2x
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea ointC 2 x y d x+(x^2+y^2) d y onde C é a elipse 4 x^2+9 y^2=36.
Seja S a parte do parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S no plano x y. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial F = 3 z i + 4 x j + 2 y k.