Se
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o cálculo do rotacional de um campo vetorial F. O rotacional, denotado por
, nos ajuda a entender como o campo está “girando” em cada ponto. Para isso, precisamos usar a definição do rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional. Se temos um campo vetorial
, o rotacional
é dado por:
Ou seja, a gente calcula as derivadas parciais das componentes de F conforme mostrado.
Passo 3
Vamos identificar as componentes P, Q e R do nosso campo vetorial dado:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada derivada parcial necessária para o rotacional.
Primeiro, vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, para a segunda componente do rotacional, precisamos de
e
:
-
-
(pois não há x em R)
Passo 6
Por último, para a terceira componente, calculamos
e
:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Resposta
O rotacional de
é:
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Seja
Mostre que é independente do caminho.
Mostre que
Calcule as seguintes integrais definidas:
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a integral curvilínea
onde C é a elipse
.
Seja
a parte do parabolóide
com
e seja
o traço de
no plano
. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial
.