Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.

Passo 1

Beleza, temos a integral . Isso está dentro da matéria de Cálculo II, mais especificamente nas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Mas, uma forma mais prática de resolver essa integral é usando uma substituição inteligente. Vamos tentar definir uma parte da integral como uma nova variável para facilitar.
Vamos definir:
Então, precisamos encontrar . Sabemos que a derivada de é:
Portanto:
Agora, observe que na integral original temos . Podemos reescrever isso de maneira a aproveitar nosso :
Mas já que definimos , então . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

a)
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica para checar a resposta obtida no item (b).
Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
é convergente ou divergente.
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.