Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.
Passo 1
Beleza, temos a integral
. Isso está dentro da matéria de Cálculo II, mais especificamente nas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Mas, uma forma mais prática de resolver essa integral é usando uma substituição inteligente. Vamos tentar definir uma parte da integral como uma nova variável para facilitar.
Vamos definir:
Então, precisamos encontrar
. Sabemos que a derivada de
é:
Portanto:
Agora, observe que na integral original temos
. Podemos reescrever isso de maneira a aproveitar nosso
:
Mas já que definimos
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral
é igual a
.