Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
integral tan x cdot sec ^4 x d x
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.

Passo 1

Beleza, temos a integral . Isso está dentro da matéria de Cálculo II, mais especificamente nas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que u = sec x e ddx (sec x) = sec x tan x . Mas, uma forma mais prática de resolver essa integral é usando uma substituição inteligente. Vamos tentar definir uma parte da integral como uma nova variável para facilitar.
Vamos definir:
du = sec x tan x , dx
Então, precisamos encontrar integral tan x cdot sec^4 x , dx = integral sec^3 x cdot (sec x tan x) , dx = integral sec^3 x cdot du . Sabemos que a derivada de integral u^3 , du é:
Portanto:
Agora, observe que na integral original temos . Podemos reescrever isso de maneira a aproveitar nosso :
Mas já que definimos , então . Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a u^44 + C = sec^4 x4 + C :
Onde é a constante de integração. Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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