Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.
Passo 1
Beleza, temos a integral
. Isso está dentro da matéria de Cálculo II, mais especificamente nas técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades básicas de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Mas, uma forma mais prática de resolver essa integral é usando uma substituição inteligente. Vamos tentar definir uma parte da integral como uma nova variável para facilitar.
Vamos definir:
Então, precisamos encontrar
. Sabemos que a derivada de
é:
Portanto:
Agora, observe que na integral original temos
. Podemos reescrever isso de maneira a aproveitar nosso
:
Mas já que definimos
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
a)
Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de
por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica
para checar a resposta obtida no item (b).
Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
é convergente ou divergente.
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.