Considere a função racional
f(x)=1x cdot(x^2+1)
(a) Faça a decomposição de f por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
integral 1x cdot(x^2+1) d x
© Use a substituição trigonométrica x=tan theta para checar a resposta obtida no item (b).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função racional:
f(x)=1x cdot(x^2+1)
O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais, integração de funções racionais e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como quebrar a fração em partes mais simples (frações parciais), integrar cada parte e depois usar uma substituição trigonométrica para verificar nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição de f(x) em frações parciais. A ideia é expressar f(x) como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Temos:
f(x) = 1x cdot (x^2 + 1)

Passo 3

Vamos supor que a decomposição seja:
1x cdot (x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x cdot (x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A cdot (x^2 + 1) + (Bx + C) cdot x
Simplificando:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + C x + A
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes dos termos de x^2, x e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes:
  1. Coeficiente de x^2: A + B = 0
  2. Coeficiente de x: C = 0
  3. Termo constante: A = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
De A = 1, temos diretamente A = 1.
De A + B = 0, substituindo A:
1 + B = 0 implies B = -1
De C = 0, já temos C = 0.

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
1x cdot (x^2 + 1) = 1x + -xx^2 + 1
Então:
f(x) = 1x - xx^2 + 1

Passo 9

Pronto, concluímos a decomposição em frações parciais:
f(x) = 1x - xx^2 + 1

Resposta

A decomposição de f(x) por meio de frações parciais é:
f(x) = 1x - xx^2 + 1

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