Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica para checar a resposta obtida no item (b).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função racional:
O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais, integração de funções racionais e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como quebrar a fração em partes mais simples (frações parciais), integrar cada parte e depois usar uma substituição trigonométrica para verificar nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição de em frações parciais. A ideia é expressar como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Temos:

Passo 3

Vamos supor que a decomposição seja:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de , e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados da equação.

Passo 6

Igualando os coeficientes:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
De , temos diretamente .
De , substituindo :
De , já temos .

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Então:

Passo 9

Pronto, concluímos a decomposição em frações parciais:

Resposta

A decomposição de por meio de frações parciais é:

Exercícios relacionados

Seja , com e a sequência de termo geral , sendo .
c) Calcule .
Sabendo que , utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência é .
a)
Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.