Considere a função racional
(a) Faça a decomposição de
por meio de frações parciais.
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
© Use a substituição trigonométrica
para checar a resposta obtida no item (b).
(b) Utilize a decomposição obtida no item (a) para calcular
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função racional:
O conteúdo aqui envolve decomposição em frações parciais, integração de funções racionais e substituição trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar saber como quebrar a fração em partes mais simples (frações parciais), integrar cada parte e depois usar uma substituição trigonométrica para verificar nossa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a decomposição de
em frações parciais. A ideia é expressar
como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Temos:
Passo 3
Vamos supor que a decomposição seja:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de
,
e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados da equação.
Passo 6
Igualando os coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
De
, temos diretamente
.
De
, substituindo
:
De
, já temos
.
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Então:
Passo 9
Pronto, concluímos a decomposição em frações parciais:
Resposta
A decomposição de
por meio de frações parciais é:
Exercícios relacionados
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
c) Calcule .
c) Calcule
Sabendo que
, utilize a fórmula do comprimento de arco para provar que o comprimento da semicircunferência
é
.
a)
Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.