Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a integral:
A pergunta quer que a gente explique por que essa integral é imprópria e depois use uma substituição trigonométrica para descobrir se ela converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Vamos precisar lembrar de como identificar integrais impróprias e usar substituições trigonométricas para resolver integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Uma integral definida é chamada de imprópria quando:
  1. Um dos limites de integração é infinito.
  2. A função integranda tem um ponto de descontinuidade ou uma assíntota no intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de integração é de 0 a 1, que são limites finitos. Mas olha só: o denominador se torna zero quando se aproxima de 1. Isso significa que a função tende ao infinito quando se aproxima de 1. Por isso, a integral é imprópria.

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Quando vemos uma expressão como , uma substituição comum é . Vamos fazer isso:
  • Seja , então .
  • Quando , .
  • Quando , .
Substituindo na integral:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, podemos usar uma identidade trigonométrica ou uma técnica de integração. Vamos usar a identidade:
Então, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então . Alterando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
Substituindo:
Integrando:

Resposta

A integral é imprópria porque o denominador tende a zero quando se aproxima de 1, fazendo com que a função integranda tenda ao infinito nesse ponto. Após a substituição trigonométrica adequada, calculamos a integral e concluímos que ela converge, tendo o valor final igual a .

Exercícios relacionados

Em uma avaliação da disciplina de Cálculo II, foi solicitado aos estudantes o cálculo da integral trigonométrica
Usando, corretamente, as estratégias discutidas em sala de aula, calcule a integral indefinida apresentada.
a)
Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.
Determine a transformada de Laplace da seguinte função: