Explique por que a integral dada a seguir é imprópria. Em seguida, use uma substituição trigonométrica adequada para determinar se
integral0^1 x^3raiz1-x^2 d x
é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a integral:
integral0^1 x^3raiz1 - x^2 dx
A pergunta quer que a gente explique por que essa integral é imprópria e depois use uma substituição trigonométrica para descobrir se ela converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Vamos precisar lembrar de como identificar integrais impróprias e usar substituições trigonométricas para resolver integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Uma integral definida é chamada de imprópria quando:
  1. Um dos limites de integração é infinito.
  2. A função integranda tem um ponto de descontinuidade ou uma assíntota no intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de integração é de 0 a 1, que são limites finitos. Mas olha só: o denominador raiz1 - x^2 se torna zero quando x se aproxima de 1. Isso significa que a função x^3raiz1 - x^2 tende ao infinito quando x se aproxima de 1. Por isso, a integral é imprópria.

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Quando vemos uma expressão como raiz1 - x^2, uma substituição comum é x = sin theta. Vamos fazer isso:
  • Seja x = sin theta, então dx = cos theta dtheta.
  • Quando x = 0, theta = 0.
  • Quando x = 1, theta = pi2.
Substituindo na integral:
integral0^1 x^3raiz1 - x^2 dx = integral0^pi2 sin^3 thetaraiz1 - sin^2 theta cos theta dtheta
Sabemos que raiz1 - sin^2 theta = cos theta, então:
integral0^pi2 sin^3 thetacos theta cos theta dtheta = integral0^pi2 sin^3 theta dtheta

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral0^pi2 sin^3 theta dtheta. Para isso, podemos usar uma identidade trigonométrica ou uma técnica de integração. Vamos usar a identidade:
sin^3 theta = sin theta (1 - cos^2 theta)
Então, a integral fica:
integral0^pi2 sin theta (1 - cos^2 theta) dtheta
Vamos fazer uma substituição simples: seja u = cos theta, então du = -sin theta dtheta. Alterando os limites:
  • Quando theta = 0, u = 1.
  • Quando theta = pi2, u = 0.
Substituindo:
integral1^0 (1 - u^2)(-du) = integral0^1 (1 - u^2) du
Integrando:
integral0^1 (1 - u^2) du = [ u - u^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23

Resposta

A integral integral0^1 x^3raiz1 - x^2 dx é imprópria porque o denominador tende a zero quando x se aproxima de 1, fazendo com que a função integranda tenda ao infinito nesse ponto. Após a substituição trigonométrica adequada, calculamos a integral e concluímos que ela converge, tendo o valor final igual a 23.

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