Exemplo 02: Em um encontro anterior, resolvemos a integral
integral e^x cos(e^x) dx
Utilizando a técnica de substituição, calcule a integral indefinida apresentada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de substituição. Para isso, vamos aplicar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar a resolução. Observamos que u = e^x está tanto no expoente quanto multiplicando a função cosseno. Então, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = e^x Rightarrow du = e^x , dx em relação a para substituir na integral. Derivando:
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 4

Substituindo integral e^x cos(e^x) , dx = integral cos(u) , du e na integral original, temos:
Agora, a integral está em termos de , o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos resolver a integral integral cos(u) , du = sin(u) + C . A antiderivada de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo sin(u) + C = sin(e^x) + C :

Resposta

A integral é igual a .

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