Em uma avaliação de estatística, foi selecionada uma amostra de 12 alunos da turma A , resultando em uma média de 7,9 com desvio-padrão 0,6 . Na turma B, foram selecionados 15 alunos, os quais tiraram nota média 6,7 com desvio-padrão 0,8 . As notas possuem distribuição normal e assume-se que sigma_1^2 = sigma_2^2. Teste a hipótese de que a turma A tem média maior do que a turma B , com um nível de significância de 1%.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem duas turmas, A e B, com médias e desvios-padrão diferentes. Queremos saber se a média da turma A é realmente maior que a da turma B. Para isso, vamos usar o teste de hipóteses para a diferença de médias, assumindo que as variâncias são iguais. Vamos precisar usar a distribuição t e calcular o valor crítico para um nível de significância de 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese nula ( ): A média da turma A é igual à média da turma B, ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A média da turma A é maior que a média da turma B, ou seja, .

Passo 3

Como estamos assumindo que as variâncias das duas populações são iguais ( ), podemos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais. A fórmula para a estatística de teste é:
onde é a variância combinada, calculada por:

Passo 4

Vamos calcular :
[
S_p = \sqrt{\frac{(12 - 1)(0.6)^2 + (15 - 1)(0.8)^2}{12 + 15 - 2}} = \sqrt{\frac{11 \times 0.36 + 14 \times 0.64}{25}} = \sqrt{\frac{3.96 + 8.96}{25}} = \sqrt{\frac{12.92}{25}} = \sqrt{0.5168} \approx 0.718
]

Passo 5

Agora, calculamos a estatística t:

Passo 6

Agora precisamos encontrar o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de 1% e graus de liberdade . Consultando a tabela t, para e (teste unilateral), o valor crítico é aproximadamente 2.485.

Passo 7

Comparamos o nosso t calculado com o valor crítico:
Como o t calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 1%, há evidências suficientes para concluir que a média da turma A é maior que a da turma B.

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