Calcule as integrais iteradas: integral0^2 integral0^pi2(x sin y) d y d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício que pede para calcular uma integral dupla: . Estamos lidando com integrais iteradas, que é um conceito de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral: integral x sin y , dy = x ( -cos y ) + C . Aqui, x [ -cos(pi2) + cos(0) ] = x [ -0 + 1 ] = x é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
A integral de em relação a é . Então:
Mas como estamos fazendo uma integral definida de a , não precisamos da constante . Vamos substituir os limites:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 x , dx :
12x^2 g|0^2 = 12(2)^2 - 12(0)^2 = 12(4) - 0 = 2
A integral de em relação a é . Vamos aplicar os limites de a :

Resposta

A integral dupla resulta em 2.

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