Use o teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = [2 x e^(x^2 + y^3) + x^2] i + [3 y^2 e^(x^2 + y^3) + 3 x] j sobre o arco de circunferência de extremos (-2,0) e 2,0 contido no semiplano y ≥ 0, orientado no sentido de 2,0 até (-2,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha de um campo vetorial específico sobre um arco de circunferência que vai de até no semiplano . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de dA. Ou seja:

Passo 3

No nosso caso, o caminho não é fechado—é apenas o arco semicircular de até . Para usar o Teorema de Green, precisamos fechar a curva. Vamos adicionar o segmento de reta no eixo de a , chamando esse trecho de . Assim, a curva fechada fica composta pelo arco e pelo segmento .

Passo 4

Aplicando o Teorema de Green na curva fechada :
Queremos encontrar a integral sobre , então rearranjamos:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Temos:
Calculando :
E :

Passo 6

Subtraindo as derivadas:
Isso simplifica bastante a integral dupla!

Passo 7

Agora, a integral dupla fica:
Á
Onde é a região do semiplano dentro do arco de circunferência com raio 2.

Passo 8

Calculando a área de :
Á
Portanto:

Passo 9

Agora, precisamos calcular a integral sobre , que é o segmento do eixo de a . No eixo , , então o campo vetorial simplifica para:
Como estamos no eixo , . Então:

Passo 10

Vamos calcular as integrais:
A primeira integral:
A segunda integral:
Então:

Passo 11

Voltando à expressão da integral sobre :

Resposta

O valor da integral de linha é .

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