Use o teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial
sobre o arco de circunferência de extremos
e
contido no semiplano
, orientado no sentido de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha de um campo vetorial específico sobre um arco de circunferência que vai de
até
no semiplano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
dA. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, o caminho
não é fechado—é apenas o arco semicircular de
até
. Para usar o Teorema de Green, precisamos fechar a curva. Vamos adicionar o segmento de reta no eixo
de
a
, chamando esse trecho de
. Assim, a curva fechada fica composta pelo arco
e pelo segmento
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green na curva fechada
:
Queremos encontrar a integral sobre
, então rearranjamos:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Temos:
Calculando
:
E
:
Passo 6
Subtraindo as derivadas:
Isso simplifica bastante a integral dupla!
Passo 7
Agora, a integral dupla fica:
Onde
é a região do semiplano
dentro do arco de circunferência com raio 2.
Passo 8
Calculando a área de
:
Portanto:
Passo 9
Agora, precisamos calcular a integral sobre
, que é o segmento do eixo
de
a
. No eixo
,
, então o campo vetorial simplifica para:
Como estamos no eixo
,
. Então:
Passo 10
Vamos calcular as integrais:
A primeira integral:
A segunda integral:
Então:
Passo 11
Voltando à expressão da integral sobre
:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Em uma avaliação de estatística, foi selecionada uma amostra de 12 alunos da turma A , resultando em uma média de 7,9 com desvio-padrão 0,6 . Na turma
, foram selecionados 15 alunos, os quais tiraram nota média 6,7 com desvio-padrão 0,8 . As notas possuem distribuição normal e assume-se que
. Teste a hipótese de que a turma A tem média maior do que a turma B , com um nível de significância de
.
A resistência dos cabos fabricados por determinada Companhia acusam média de 1.800 lbs. Desvio padrão de
lbs. Adotando-se uma nova técnica de fabricação, espera-se aumentar essa resistência. Para testar tal hipótese, toma-se uma amostra de 50 cabos fabricados pelo novo processo,
obtendo-se uma resistência média de 1.850 lbs. Pode-se aceitar a hipótese ao nível de significância de 0,05 ?
obtendo-se uma resistência média de 1.850 lbs. Pode-se aceitar a hipótese ao nível de significância de 0,05 ?
Calcule as integrais iteradas:
;
Calcule a área da regiāo delimitada pela curva
.