Use o teorema de Green para calcular a integral de linha do campo vetorial
sobre o arco de circunferência de extremos
e
contido no semiplano
, orientado no sentido de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha de um campo vetorial específico sobre um arco de circunferência que vai de
até
no semiplano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas sobre uma região plana.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
dA. Ou seja:
Passo 3
No nosso caso, o caminho
não é fechado—é apenas o arco semicircular de
até
. Para usar o Teorema de Green, precisamos fechar a curva. Vamos adicionar o segmento de reta no eixo
de
a
, chamando esse trecho de
. Assim, a curva fechada fica composta pelo arco
e pelo segmento
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Green na curva fechada
:
Queremos encontrar a integral sobre
, então rearranjamos:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Temos:
Calculando
:
E
:
Passo 6
Subtraindo as derivadas:
Isso simplifica bastante a integral dupla!
Passo 7
Agora, a integral dupla fica:
Onde
é a região do semiplano
dentro do arco de circunferência com raio 2.
Passo 8
Calculando a área de
:
Portanto:
Passo 9
Agora, precisamos calcular a integral sobre
, que é o segmento do eixo
de
a
. No eixo
,
, então o campo vetorial simplifica para:
Como estamos no eixo
,
. Então:
Passo 10
Vamos calcular as integrais:
A primeira integral:
A segunda integral:
Então:
Passo 11
Voltando à expressão da integral sobre
:
Resposta
O valor da integral de linha é
.