Numa avaliação somativa de MAS, uma das questões propostas foi a seguinte:
Calcule, caso exista, o seguinte limite
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Considerando o caminho
Considerando o caminho
Como o resultado dos limites pelos dois caminhos são diferentes, o estudante concluiu que o limite não existe. Avalie criticamente a resolução do estudante. Responda se ela está correta ou incorreta, apresentando um argumento que justifique sua conclusão.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
O exercício pede para calcular o limite da função
quando se aproxima de . Vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar a existência do limite examinando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Simplificando a Função
Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
Numerador:
Denominador:
Portanto, a função se simplifica para:

Passo 3

Analisando o Limite Simplificado
Agora, queremos calcular:
Para investigar a existência desse limite, devemos verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar de .

Passo 4

Avaliando os Caminhos Propostos pelo Estudante
O estudante considerou dois caminhos:
  1. Caminho :
    • Ao escolher , ele está fixando em 0 enquanto se aproxima de 2. No entanto, isso faz com que o ponto de aproximação seja e não , que é o ponto desejado. Portanto, esse caminho não é válido para o cálculo solicitado.
  2. Caminho :
    • Aqui, à medida que se aproxima de 1, se aproxima de 2, realmente aproximando-se do ponto . Calculando o limite:

Passo 5

Conclusão sobre a Resolução do Estudante
O estudante concluiu que o limite não existe porque obteve resultados diferentes em dois caminhos. Contudo, o primeiro caminho escolhido ( ) não está realmente se aproximando de , mas sim de , o que não é relevante para o cálculo do limite solicitado.
Para determinar corretamente se o limite existe, é necessário que todos os caminhos válidos que se aproximem de resultem no mesmo valor. No caso da função simplificada , diferentes relações entre e podem levar a valores diferentes, indicando que o limite de fato não existe.

Resposta

A conclusão do estudante está correta. O limite não existe porque diferentes caminhos válidos que se aproximam de resultam em valores distintos.

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