Numa avaliação somativa de MAS, uma das questões propostas foi a seguinte:
Calcule, caso exista, o seguinte limite
lim (x, y) (2,1) x^2-4 x+4x y-2 y-x+2
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Considerando o caminho y=0
lim (x, y) (2,1) x^2-4 x+4x y-2 y-x+2=lim x 2 (x-2)^2-(x-2)=-lim x 2(x-2)=0
Considerando o caminho x=2 y
lim (x, y) (2,1) x^2-4 x+4x y-2 y-x+2=lim y 1 4 y^2-8 y+42 y^2-2 y-2 y+2=lim y 1 4(y^2-2 y+1)2(y^2-2 y+1)=2
Como o resultado dos limites pelos dois caminhos são diferentes, o estudante concluiu que o limite não existe. Avalie criticamente a resolução do estudante. Responda se ela está correta ou incorreta, apresentando um argumento que justifique sua conclusão.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
O exercício pede para calcular o limite da função
lim (x, y) (2,1) x^2-4 x+4x y-2 y-x+2
quando se aproxima de . Vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar a existência do limite examinando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Simplificando a Função
Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
Numerador:
x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
Denominador:
x y - 2 y - x + 2 = y(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(y - 1)
Portanto, a função se simplifica para:
(x - 2)^2(x - 2)(y - 1) = x - 2y - 1 (quando x neq 2 e y neq 1)

Passo 3

Analisando o Limite Simplificado
Agora, queremos calcular:
lim (x, y) (2,1) x - 2y - 1
Para investigar a existência desse limite, devemos verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar de .

Passo 4

Avaliando os Caminhos Propostos pelo Estudante
O estudante considerou dois caminhos:
  1. Caminho lim y 1 2y - 2y - 1 = lim y 1 2(y - 1)y - 1 = 2 :
    • Ao escolher , ele está fixando em 0 enquanto se aproxima de 2. No entanto, isso faz com que o ponto de aproximação seja e não , que é o ponto desejado. Portanto, esse caminho não é válido para o cálculo solicitado.
  2. Caminho :
    • Aqui, à medida que se aproxima de 1, se aproxima de 2, realmente aproximando-se do ponto . Calculando o limite:

Passo 5

Conclusão sobre a Resolução do Estudante
O estudante concluiu que o limite não existe porque obteve resultados diferentes em dois caminhos. Contudo, o primeiro caminho escolhido ( ) não está realmente se aproximando de , mas sim de , o que não é relevante para o cálculo do limite solicitado.
Para determinar corretamente se o limite existe, é necessário que todos os caminhos válidos que se aproximem de resultem no mesmo valor. No caso da função simplificada , diferentes relações entre e podem levar a valores diferentes, indicando que o limite de fato não existe.

Resposta

A conclusão do estudante está correta. O limite não existe porque diferentes caminhos válidos que se aproximam de resultam em valores distintos.

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