Numa avaliação somativa de MAS, uma das questões propostas foi a seguinte:
Calcule, caso exista, o seguinte limite
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Considerando o caminho
Considerando o caminho
Como o resultado dos limites pelos dois caminhos são diferentes, o estudante concluiu que o limite não existe. Avalie criticamente a resolução do estudante. Responda se ela está correta ou incorreta, apresentando um argumento que justifique sua conclusão.
Calcule, caso exista, o seguinte limite
Considerando o caminho
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
O exercício pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar a existência do limite examinando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Simplificando a Função
Primeiro, vamos simplificar a expressão dada:
Numerador:
Denominador:
Portanto, a função se simplifica para:
Passo 3
Analisando o Limite Simplificado
Agora, queremos calcular:
Para investigar a existência desse limite, devemos verificar se o resultado é o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar de
.
Passo 4
Avaliando os Caminhos Propostos pelo Estudante
O estudante considerou dois caminhos:
-
Caminho
: - Ao escolher
, ele está fixando em 0 enquanto se aproxima de 2. No entanto, isso faz com que o ponto de aproximação seja e não , que é o ponto desejado. Portanto, esse caminho não é válido para o cálculo solicitado.
- Ao escolher
-
Caminho
: - Aqui, à medida que
se aproxima de 1, se aproxima de 2, realmente aproximando-se do ponto . Calculando o limite:
- Aqui, à medida que
Passo 5
Conclusão sobre a Resolução do Estudante
O estudante concluiu que o limite não existe porque obteve resultados diferentes em dois caminhos. Contudo, o primeiro caminho escolhido (
) não está realmente se aproximando de
, mas sim de
, o que não é relevante para o cálculo do limite solicitado.
Para determinar corretamente se o limite existe, é necessário que todos os caminhos válidos que se aproximem de
resultem no mesmo valor. No caso da função simplificada
, diferentes relações entre
e
podem levar a valores diferentes, indicando que o limite de fato não existe.
Resposta
A conclusão do estudante está correta. O limite não existe porque diferentes caminhos válidos que se aproximam de
resultam em valores distintos.
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