Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é um pouco complicada à primeira vista. A gente tem que calcular . Aqui, vamos usar conhecimentos de integração dupla e substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . A presença do dentro do cosseno sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos deixar . Isso significa que , ou seja, . Substituindo na integral, ficamos com:
Note que ao mudar os limites de integração: quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, integrar é bem tranquilo. A antiderivada de é . Então, calculamos:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Com isso, a integral interna simplifica para apenas . Agora, substituímos isso na integral externa:
Essa é uma integral básica de uma função polinomial.

Passo 6

Integrar em relação a é simples. A antiderivada de é . Então, calculamos:

Resposta

O valor da integral é .

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Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção e igual a na direção . Calcular:
a)
b) na direção .
Numa avaliação somativa de MAS, uma das questões propostas foi a seguinte:
Calcule, caso exista, o seguinte limite
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Considerando o caminho
Considerando o caminho
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