integral0^1 integral0^(arcsen y) / y y cos (x y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é um pouco complicada à primeira vista. A gente tem que calcular . Aqui, vamos usar conhecimentos de integração dupla e substituição para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . A presença do dentro do cosseno sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos deixar integral0^arcsin yy y cos(x y) ,dx = integral0^arcsin y cos(u) ,du . Isso significa que , ou seja, . Substituindo na integral, ficamos com:
Note que ao mudar os limites de integração: quando , , e quando , .

Passo 4

Agora, integrar integral0^arcsin y cos(u) ,du = sin(u) g|0^arcsin y = sin(arcsin y) - sin(0) é bem tranquilo. A antiderivada de sin(arcsin y) - sin(0) = y - 0 = y é . Então, calculamos:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Com isso, a integral interna simplifica para apenas integral0^1 y ,dy . Agora, substituímos isso na integral externa:
Essa é uma integral básica de uma função polinomial.

Passo 6

Integrar y^22 g|0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 12 em relação a é simples. A antiderivada de é . Então, calculamos:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados