integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral0^4 integraly / 2^2 e^x^2 , dx , dy. Esse tipo de integral envolve calcular a área sob a superfície da função e^x^2 no intervalo definido. Para resolver, vamos precisar entender como inverter a ordem de integração, já que a função e^x^2 não possui uma primitiva elementar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. As fronteiras são y = 0, y = 4, x = y2 e x = 2. Para facilitar a integração, vamos inverter a ordem das integrais, integrando primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 3

Ao inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para x e y. Observando as fronteiras:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para cada x, y varia de 0 a 2x (pois x = y2 Rightarrow y = 2x) e até y = 4.
Então, os novos limites serão:
  • x de 0 a 2.
  • y de 0 a 2x.

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral fica:
integral0^2 integral0^2x e^x^2 , dy , dx
Agora, como e^x^2 não depende de y, podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Integrando em relação a y:
integral0^2x e^x^2 , dy = e^x^2 cdot y |0^2x = e^x^2 cdot 2x
Então, a integral se torna:
integral0^2 2x e^x^2 , dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral 2x e^x^2 , dx. Aqui, podemos usar a substituição u = x^2, o que implica que du = 2x , dx.

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:
integral e^u , du = e^u + C = e^x^2 + C

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a 2:
e^x^2 |0^2 = e^4 - e^0 = e^4 - 1

Resposta

O valor da integral dupla é e^4 - 1.

Exercícios relacionados