Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse tipo de integral envolve calcular a área sob a superfície da função no intervalo definido. Para resolver, vamos precisar entender como inverter a ordem de integração, já que a função não possui uma primitiva elementar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . As fronteiras são , , e . Para facilitar a integração, vamos inverter a ordem das integrais, integrando primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Ao inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para e . Observando as fronteiras:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a (pois ) e até .
Então, os novos limites serão:
  • de a .
  • de a .

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral fica:
Agora, como não depende de , podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Integrando em relação a :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Aqui, podemos usar a substituição , o que implica que .

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:

Passo 8

Aplicando os limites de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a na direção e igual a na direção . Calcular:
a)
b) na direção .
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a)
b) .
Numa avaliação somativa de MAS, uma das questões propostas foi a seguinte:
Calcule, caso exista, o seguinte limite
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Considerando o caminho
Considerando o caminho
Como o resultado dos limites pelos dois caminhos são diferentes, o estudante concluiu que o limite não existe. Avalie criticamente a resolução do estudante. Responda se ela está correta ou incorreta, apresentando um argumento que justifique sua conclusão.