Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
integralpi / 6^pi / 2 cotan(x) cossec^3(x) d x.

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular uma integral que envolve funções trigonométricas. A integral que precisamos resolver é:
integralpi / 6^pi / 2 cot(x) csc^3(x) , dx
Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de substituição, que facilita o cálculo de integrais mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de sen(x). Sabemos que:
cot(x) = cos(x)sin(x)
e
csc(x) = 1sin(x)
Substituindo na integral, temos:
integralpi / 6^pi / 2 cos(x)sin(x) cdot (1sin(x))^3 dx = integralpi / 6^pi / 2 cos(x)sin^4(x) dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sin(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = cos(x) Rightarrow du = cos(x) dx
Substituindo na integral, ficamos com:
integral duu^4

Passo 4

Vamos integrar em termos de u:
integral u^-4 du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C
Substituindo de volta u = sin(x):
-13 sin^3(x) + C

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração para calcular a integral definida:
[-13 sin^3(x)]pi / 6^pi / 2 = -13 sin^3(pi2) + 13 sin^3(pi6)
Sabendo que:
sin(pi2) = 1 e sin(pi6) = 12,
substituímos:
-13 (1)^3 + 13 (12)^3 = -13 + 13 cdot 18 = -13 + 83 = 73

Resposta

73

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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