Estude a convergência das séries:
sumn=1^infty n^ne^n^2.

Passo 1

Então, a gente tem que estudar se a série converge ou não. A matéria envolvida aqui é o estudo da convergência de séries infinitas, e para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge olhando para a razão entre termos consecutivos da série. Se o limite dessa razão for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Chamemos o termo geral da série de . Agora, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 4

Calculando a razão:
Simplificando:
an+1an = (n+1)^n+1e^(n+1)^2 times e^n^2n^n = (n+1)^n+1n^n times e^n^2e^n^2 + 2n + 1

Passo 5

Sabemos que limn to infty (n+1) times e times e^-2n -1 = limn to infty (n+1) times e^-2n tende para quando tende ao infinito. Então, substituindo:

Passo 6

Agora, analisando limn to infty (n+1) times e^-2n = 0 , percebemos que decresce exponencialmente mais rápido que cresce linearmente. Portanto:

Passo 7

Como o limite da razão é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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sumn=1^infty 4^5 n x^n;
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