Estude a convergência das séries:
.
Passo 1
Então, a gente tem que estudar se a série
converge ou não. A matéria envolvida aqui é o estudo da convergência de séries infinitas, e para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar o Teste da Razão (também conhecido como Teste de D’Alembert).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge olhando para a razão entre termos consecutivos da série. Se o limite dessa razão for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Chamemos o termo geral da série de
. Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Calculando a razão:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
tende para
quando
tende ao infinito. Então, substituindo:
Passo 6
Agora, analisando
, percebemos que
decresce exponencialmente mais rápido que
cresce linearmente. Portanto:
Passo 7
Como o limite da razão
é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b) , com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
(b)
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;
Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
.