Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
G(x)=integral0^x^8 sen(t^2) d t.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida pela integral . O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, e precisamos usá-lo para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limite superior variável, ou seja, G'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a derivada da integral é a função dentro da integral avaliada no limite superior multiplicada pela derivada desse limite superior.

Passo 3

No nosso caso, o limite superior da integral é . Vamos identificar cada parte:
  • Função dentro da integral:
  • Limite superior:
  • Derivada do limite superior:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, temos:
Simplificando a expressão dentro da seno:
G'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) = sen( (x^8)^2 ) cdot 8x^7
Então:

Resposta

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Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
F(x)=integral2 x^3 x t^2-1t^2+1 d t.
Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
integralpi / 6^pi / 2 cotan(x) cossec^3(x) d x.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
H(x)=integralraizx^x^3 e^t^2 d t.
Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi / 2 x sen(x) d x.