Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
F(x)=integral2 x^3 x t^2-1t^2+1 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para encontrar a derivada de uma função definida por uma integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. A função é:
F(x) = integral2x^3x t^2 - 1t^2 + 1 , dt
Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral cujos limites de integração são funções de . Isso envolve aplicar a Regra de Leibniz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) :
Aqui, e são os limites inferior e superior da integral, respectivamente, e é a função que estamos integrando.

Passo 3

Identificando os componentes da nossa função :
  • Função dentro da integral:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Precisamos agora derivar cada limite em relação a :

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz com os valores identificados:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
F'(x) = (3x)^2 - 1(3x)^2 + 1 cdot 3 - (2x)^2 - 1(2x)^2 + 1 cdot 2

Passo 5

Vamos simplificar as expressões:
Para (3x)^2 - 1(3x)^2 + 1 = 9x^2 - 19x^2 + 1 :
(2x)^2 - 1(2x)^2 + 1 = 4x^2 - 14x^2 + 1
Para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de F'(x) = ( 9x^2 - 19x^2 + 1 ) cdot 3 - ( 4x^2 - 14x^2 + 1 ) cdot 2 :
F'(x) = 3(9x^2 - 1)9x^2 + 1 - 2(4x^2 - 1)4x^2 + 1
Podemos fatorar os coeficientes:

Resposta

A derivada da função F'(x) = 3(9x^2 - 1)9x^2 + 1 - 2(4x^2 - 1)4x^2 + 1 é:

Exercícios relacionados

Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
integralpi / 6^pi / 2 cotan(x) cossec^3(x) d x.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty 4^5 n x^n;
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
G(x)=integral0^x^8 sen(t^2) d t.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
H(x)=integralraizx^x^3 e^t^2 d t.