Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty 4^5 n x^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências e, se possível, encontrar o raio de convergência. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . A série fica então .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an | cdot |x|
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = 4^5(n+1)4^5n = 4^5(n+1) - 5n = 4^5 = 1024 :
L = limn to infty 1024 cdot |x| = 1024 |x|
Então, o limite fica:

Passo 5

Para que a série converja, queremos que 1024 |x| < 1 :
|x| < 11024
Vamos resolver para :

Passo 6

Isso nos dá o intervalo de convergência:
( -11024, 11024 )
E o raio de convergência é:
R = 11024

Resposta

O intervalo de convergência da série é e o raio de convergência é .

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries:
sumn=1^infty n^ne^n^2.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(b) integral-pi2^0 cos (x^4) d x, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
integralpi / 6^pi / 2 cotan(x) cossec^3(x) d x.
Use o Teorema fundamental do cálculo, Parte 1, para encontrar a derivada da função.
F(x)=integral2 x^3 x t^2-1t^2+1 d t.