Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
integralpi / 2^pi sen^5(x) cos ^3(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral trigonométrica . Aqui, a gente está trabalhando com potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que facilita bastante quando temos potências ímpares dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar um fator de sin^4(x) = (sin^2(x))^2 = (1 - cos^2(x))^2 para facilitar a substituição. Podemos escrever integralpi / 2^pi (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x) cdot cos^3(x) , dx como . Agora, lembrando que , temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar integral0^-1 (1 - u^2)^2 cdot u^3 cdot (-du) , então a derivada de integral-1^0 (1 - u^2)^2 cdot u^3 , du em relação a é . Isso significa que .
Também precisamos mudar os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo tudo, a integral se torna:
O sinal negativo vai trocar os limites, então ficamos com:

Passo 4

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
(1 - 2u^2 + u^4) cdot u^3 = u^3 - 2u^5 + u^7
Multiplicando por integral-1^0 ( u^3 - 2u^5 + u^7 ) , du :
Agora, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral u^3 , du = u^44
integral -2u^5 , du = -2 cdot u^66 = -u^63
integral u^7 , du = u^88
Então, a integral se torna:
[ u^44 - u^63 + u^88 ]-1^0

Passo 6

Agora, vamos avaliar nos limites:
Para 0^44 - 0^63 + 0^88 = 0 :
(-1)^44 - (-1)^63 + (-1)^88 = 14 - 13 + 18
Para 14 - 13 + 18 = 624 - 824 + 324 = 124 :
Calculando:
Então, a diferença é . Como trocamos os limites, o sinal volta a positivo.

Resposta

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