Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função dada:
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida. Para isso, precisamos ver onde os radicais e o denominador são válidos. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função:
Dentro da raiz quadrada, a expressão
deve ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo (no conjunto dos números reais). Então:
Mas, olha só,
e
são sempre positivos ou zero, então
sempre será pelo menos 1. Ou seja, essa parte não impõe restrições no domínio.
Passo 3
Agora, vamos para o denominador:
Primeiro, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa:
Isso significa:
Essa é a equação de um círculo com raio 3 no plano
. Então, os pontos
devem estar dentro ou na borda desse círculo.
Passo 4
Além disso, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Vamos ver se isso é possível:
Como
é sempre maior ou igual a zero, somar 1 nunca vai dar zero. Então, não precisa se preocupar com o denominador sendo zero.
Passo 5
Resumindo tudo:
- A única restrição vem da condição
. - Isso significa que o domínio da função são todos os pontos
dentro ou na borda de um círculo de raio 3 no plano cartesiano.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
. No plano cartesiano, isso corresponde a um círculo com raio 3 centrado na origem, incluindo a própria circunferência.
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