Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 + 1) / (1 + raiz(9 - x^2 - y^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio da função dada:
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Para isso, precisamos ver onde os radicais e o denominador são válidos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função:
Dentro da raiz quadrada, a expressão deve ser maior ou igual a zero porque não dá pra tirar raiz quadrada de número negativo (no conjunto dos números reais). Então:
Mas, olha só, e são sempre positivos ou zero, então sempre será pelo menos 1. Ou seja, essa parte não impõe restrições no domínio.

Passo 3

Agora, vamos para o denominador:
Primeiro, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz seja não negativa:
Isso significa:
Essa é a equação de um círculo com raio 3 no plano . Então, os pontos devem estar dentro ou na borda desse círculo.

Passo 4

Além disso, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida. Vamos ver se isso é possível:
Como é sempre maior ou igual a zero, somar 1 nunca vai dar zero. Então, não precisa se preocupar com o denominador sendo zero.

Passo 5

Resumindo tudo:
  • A única restrição vem da condição .
  • Isso significa que o domínio da função são todos os pontos dentro ou na borda de um círculo de raio 3 no plano cartesiano.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem . No plano cartesiano, isso corresponde a um círculo com raio 3 centrado na origem, incluindo a própria circunferência.
Domínio da Função

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