Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi / 2 x sen(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes: .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada. Aqui, escolhemos:
  • (porque a derivada de é mais simples)

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar e integrar para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) - integral (-cos(x)) , dx
Simplificando:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx

Passo 5

Vamos agora integrar integral cos(x) , dx = sin(x) :
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + sin(x)
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de [ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi/2 a - pi2 cos(pi2) + sin(pi2) = -pi2 cdot 0 + 1 = 1 :
-0 cdot cos(0) + sin(0) = 0 + 0 = 0
Calculando no limite superior :
Calculando no limite inferior :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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