Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral0^pi e^x sen(x) d x.

Passo 1

Aqui temos um exercício de integração por partes, que faz parte do conteúdo de cálculo integral. Vamos precisar identificar quais funções usar na fórmula de integração por partes e aplicar essa técnica para resolver a integral definida integral0^pi e^x sen(x) , dx.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Vamos escolher:
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx
dv = sen(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x sen(x) , dx = e^x ( -cos(x) ) - integral ( -cos(x) ) e^x , dx
Simplificando:
= -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral integral e^x cos(x) , dx usando integração por partes novamente.
Escolhemos:
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx
dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sen(x)

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sen(x) - integral sen(x) e^x , dx

Passo 7

Observe que a integral integral e^x sen(x) , dx aparece novamente. Vamos chamar essa integral de I:
I = integral e^x sen(x) , dx = -e^x cos(x) + e^x sen(x) - I
Somando I dos dois lados:
2I = e^x (sen(x) - cos(x)) Rightarrow I = e^x (sen(x) - cos(x))2

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral original com os limites de 0 a pi:
integral0^pi e^x sen(x) , dx = e^x (sen(x) - cos(x))2 |0^pi
Calculando nos limites:
Para x = pi:
e^pi (0 - (-1))2 = e^pi cdot 12 = e^pi2
Para x = 0:
1 (0 - 1)2 = -12
Subtraindo:
e^pi2 - ( -12 ) = e^pi + 12

Resposta

integral0^pi e^x sen(x) , dx = e^pi + 12

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