Resolva equaçãoes exatos:
seny
seny
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata:
. A matéria aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que são equações exatas e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos
e
. Para uma equação ser exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso nos dá:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na função
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Avaliar as seguintes integrais trigonométricas.
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Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.
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