Resolva equaçãoes exatos:
x + seny d x + (x cos y + seny dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata: . A matéria aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente Equações Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que são equações exatas e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos e . Para uma equação ser exata, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é realmente exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x, y) tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função F(x, y) integrando M em relação a x:
Aqui, é uma função de y que surge da integração.

Passo 5

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N para encontrar :
Isso nos dá:
Integrando em relação a y:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na função F(x, y):

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante qualquer.

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