Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace
da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{
\quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Laplace
da solução da equação diferencial de valor inicial dada. Aqui, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e resolução de equações diferenciais com condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace e lidar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial e as condições iniciais:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Com as condições iniciais
e
, isso simplifica para:
Então, aplicando a transformada de Laplace na equação:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace do lado direito, que é uma função definida por partes. Podemos expressar essa função usando a função degrau unitário
:
Portanto, a transformada de Laplace de
é:
Passo 5
Calculamos cada termo separadamente:
Então, combinando:
Passo 6
Voltamos à equação transformada:
Fatorando
:
Passo 7
Isolamos
:
Resposta
A transformada de Laplace da solução
é:
Exercícios relacionados
Avaliar por substituição trigonométrica:
ou
ou
.
.
Use integração por partes para calcular as seguintes integrais:
.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.