Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace Y(s) = L{y} da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{ t, 0 <= t < 1, 1, 1 <= t < infinito \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Laplace da solução da equação diferencial de valor inicial dada. Aqui, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e resolução de equações diferenciais com condições iniciais. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace e lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial e as condições iniciais:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo .

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Com as condições iniciais e , isso simplifica para:
Então, aplicando a transformada de Laplace na equação:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace do lado direito, que é uma função definida por partes. Podemos expressar essa função usando a função degrau unitário :
Portanto, a transformada de Laplace de é:

Passo 5

Calculamos cada termo separadamente:
Então, combinando:

Passo 6

Voltamos à equação transformada:
Fatorando :

Passo 7

Isolamos :

Resposta

A transformada de Laplace da solução é:

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