Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. Então, vamos trabalhar com conceitos de análise de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão pra entender melhor o que está acontecendo. Olhe só:
Perceba que
sempre dá 1, independente do valor de
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, queremos ver o que acontece com
conforme
cresce, ou seja, quando
tende ao infinito. Para isso, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é o termo de maior grau:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada parte dessa fração:
-
: Conforme cresce, no denominador faz com que esse termo diminua para 0, porque qualquer número dividido por algo que cresce sem limites tende a zero. -
: Similarmente, conforme aumenta, esse termo também tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão, temos:
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 1.
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Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace
da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{ \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{
Avaliar por substituição trigonométrica:
ou
ou
.
.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.