Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar o limite dessa sequência. Então, vamos trabalhar com conceitos de análise de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco essa expressão pra entender melhor o que está acontecendo. Olhe só:
Perceba que sempre dá 1, independente do valor de . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, queremos ver o que acontece com conforme cresce, ou seja, quando tende ao infinito. Para isso, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada parte dessa fração:
  1. : Conforme cresce, no denominador faz com que esse termo diminua para 0, porque qualquer número dividido por algo que cresce sem limites tende a zero.
  2. : Similarmente, conforme aumenta, esse termo também tende a 0.
Então, substituindo esses limites na expressão, temos:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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Em cada um dos Problemas de 24 a 26, encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na Seção 6.3.
$y^{\prime \prime}+4 y=\left{ \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0\right.
Avaliar por substituição trigonométrica: ou ou . .
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.