Mostre que os harmônicos esféricos
são autofunções dos operadores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os harmônicos esféricos $ Y_{l, m}(\theta, \phi) $ são autofunções (ou seja, funções próprias) dos operadores $ L^{2} $ e $ L_{z} $. Isso faz parte da matéria de mecânica quântica, especificamente no estudo do momento angular. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses operadores e como eles atuam nas funções harmônicas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os operadores $ L^{2} $ e $ L_{z} $. O operador $ L^{2} $ representa o quadrado do momento angular total, enquanto $ L_{z} $ representa a componente $ z $ do momento angular. Suas expressões em coordenadas esféricas são:
Onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador $ L_{z} $ na função harmônica esférica $ Y_{l, m}(\theta, \phi) $. Sabemos que os harmônicos esféricos têm a propriedade de serem funções próprias de $ L_{z} $, ou seja:
Isso significa que, ao operarmos $ L_{z} $ em $ Y_{l, m} $, obtemos a própria função multiplicada por $ \hbar m $, onde $ m $ é o número quântico magnético.
Passo 4
Vamos entender por que isso acontece. Aplicando $ L_{z} $ sobre $ Y_{l, m} $:
Sabemos que a dependência em $ \phi $ dos harmônicos esféricos é da forma $ e^{i m \phi} $. Assim, ao derivar em relação a $ \phi $:
Portanto:
Confirmamos que $ Y_{l, m} $ é autofunção de $ L_{z} $ com autovalor $ \hbar m $.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o operador $ L^{2} $ na função $ Y_{l, m}(\theta, \phi) $. Os harmônicos esféricos também são funções próprias de $ L^{2} $, com a seguinte relação:
Aqui, $ l $ é o número quântico angular principal.
Passo 6
Para verificar isso, aplicamos $ L^{2} $ em $ Y_{l, m} $:
Sabemos que $ Y_{l, m} $ satisfaz a equação de eigenvalor para $ L^{2} $, resultando em:
Isso confirma que $ Y_{l, m} $ é também uma autofunção de $ L^{2} $ com autovalor $ \hbar^{2} l(l + 1) $.
Resposta
Portanto, mostramos que os harmônicos esféricos $ Y_{l, m}(\theta, \phi) $ são autofunções dos operadores $ L^{2} $ e $ L_{z} $, com os respectivos autovalores $ \hbar^{2} l(l + 1) $ e $ \hbar m $.