Avalie se o conjunto de funções {f1, f2, f3, f4} é linearmente dependente ou linearmente independente sendo:
f1(t)=2t-3, f2(t)=t^3+1, f3(t)=2t^2-t, f4(t)=t^2+t+1
Se linearmente dependente, determine uma relação linear entre elas.

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se o conjunto de funções é linearmente dependente ou independente. As funções são:
Vamos usar o conceito de combinação linear para testar a dependência. Precisamos ver se existe uma combinação dessas funções que resulte na função zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 2

Vamos supor que existe uma combinação linear dessas funções igual a zero:
Substituindo as funções, temos:

Passo 3

Vamos organizar os termos por potências de :
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Como , podemos substituir na quarta equação:
Agora, na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:

Passo 5

Com , temos:
E já sabíamos que . Portanto, a única solução é .

Resposta

O conjunto de funções é linearmente independente.

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