Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(o) integral 2 x-3x^2-4 x+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida que é:
integral 2x - 3x^2 - 4x + 4 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional (uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e usar substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 . Esse polinômio pode ser fatorado. Vamos ver se ele é um quadrado perfeito:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador simplificado:
integral 2x - 3(x - 2)^2 , dx
Para integrar essa fração, podemos usar a técnica de substituição. Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição dudx = 1 Rightarrow du = dx . Então, a derivada de em relação a é:
Também, como , podemos escrever .

Passo 5

Substituindo integral 2(u + 2) - 3u^2 , du = integral 2u + 4 - 3u^2 , du = integral 2u + 1u^2 , du e na integral, temos:

Passo 6

Vamos separar a fração:
integral ( 2uu^2 + 1u^2 ) , du = integral ( 2u + u^-2 ) , du

Passo 7

Agora, integremos termo a termo:
integral 2u , du + integral u^-2 , du = 2 ln|u| - u^-1 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos 2 ln|x - 2| - 1x - 2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
2 ln|x - 2| - 1x - 2 + C

Exercícios relacionados