Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com algumas funções do lado direito. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções gerais. Vamos precisar achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea. No final, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é:
Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
A expressão do lado direito tem três termos diferentes: , e . Vamos achar uma solução particular para cada um deles e depois somar.
Passo 5
Primeiro, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então:
Passo 6
Segundo, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então:
Passo 7
Por último, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Então:
Passo 8
Agora, juntamos todas as soluções particulares:
Passo 9
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .