Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com algumas funções do lado direito. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções gerais. Vamos precisar achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea. No final, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é:
Resolvendo para , temos:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
A expressão do lado direito tem três termos diferentes: , e . Vamos achar uma solução particular para cada um deles e depois somar.

Passo 5

Primeiro, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Então:

Passo 6

Segundo, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então:

Passo 7

Por último, para o termo :
Assumimos uma solução na forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Então:

Passo 8

Agora, juntamos todas as soluções particulares:

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Simplificando:
Segunda condição:
Primeiro, achamos a derivada de :
Aplicando :
Simplificando:
Calculando os termos constantes:
Então:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Se linearmente dependente, determine uma relação linear entre elas.
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(q)
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