Questão: Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de
. Encontre a taxa a que o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro.
Passo 1
Então, temos uma bola de neve que está crescendo, e queremos descobrir quão rápido o raio dela está aumentando quando o diâmetro é de 4 dm. A matéria que vamos usar aqui é a Cálculo Relacionado a Taxas de Variação, especificamente envolvendo derivadas de funções relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula do volume de uma esfera e como aplicar a derivada em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de uma esfera é dado pela fórmula:
onde
é o raio da esfera.
Passo 3
Como o volume está aumentando com o tempo, podemos pensar em ambos
e
como funções do tempo
. Queremos encontrar
, a taxa de variação do raio em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
usando a regra da cadeia:
Aqui, usamos a derivada de
que é
, e simplificamos os termos.
Passo 5
Sabemos que
e que o diâmetro da bola é 4 dm, então o raio
é metade disso:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na equação da derivada:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
A taxa a que o raio está aumentando quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro é
.
Exercícios relacionados
Questão: Seja
a área de um quadrado e
o comprimento do lado do quadrado.
(a) encontre a taxa de variaçaõ média de em relação a
, quando
varia de 4 a 4,6 e de 4 a 4,1 ;
(a) encontre a taxa de variaçaõ média de
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(i)
(i)
Avalie se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou linearmente independente sendo:
Se linearmente dependente, determine uma relação linear entre elas.