Questão: Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de . Encontre a taxa a que o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro.

Passo 1

Então, temos uma bola de neve que está crescendo, e queremos descobrir quão rápido o raio dela está aumentando quando o diâmetro é de 4 dm. A matéria que vamos usar aqui é a Cálculo Relacionado a Taxas de Variação, especificamente envolvendo derivadas de funções relacionadas. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula do volume de uma esfera e como aplicar a derivada em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de uma esfera é dado pela fórmula:
onde é o raio da esfera.

Passo 3

Como o volume está aumentando com o tempo, podemos pensar em ambos e como funções do tempo . Queremos encontrar , a taxa de variação do raio em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo usando a regra da cadeia:
Aqui, usamos a derivada de que é , e simplificamos os termos.

Passo 5

Sabemos que e que o diâmetro da bola é 4 dm, então o raio é metade disso:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação da derivada:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

A taxa a que o raio está aumentando quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro é .

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(i)
Avalie se o conjunto de funções é linearmente dependente ou linearmente independente sendo:
Se linearmente dependente, determine uma relação linear entre elas.