Avalie a derivada resolvida a seguiu, caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica (Rightarrow) esteja certo escrever
f(x)=x^4+1x^2 stackrel(1)Rightarrow f^prime(x)=x^2(4 x^3)-(x^4+1)(2 x)(x^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se o passo que vem depois da seta de implicação (Rightarrow) está correto. O conteúdo aqui envolve cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma função que é um quociente de polinômios. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente para derivadas. Se você tem uma função que é uma fração de duas funções, ou seja, f(x) = g(x)h(x), então a derivada dessa função, f'(x), é dada por:
f'(x) = h(x) cdot g'(x) - g(x) cdot h'(x)[h(x)]^2
Isso significa que a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra na função dada: f(x) = x^4+1x^2.
  • Identificando as partes:
    • g(x) = x^4 + 1
    • h(x) = x^2
  • Derivando cada parte:
    • g'(x) = ddx(x^4 + 1) = 4x^3
    • h'(x) = ddx(x^2) = 2x
  • Aplicando a regra do quociente:
    f'(x) = x^2 cdot 4x^3 - (x^4 + 1) cdot 2x(x^2)^2

Passo 4

Vamos comparar o resultado que encontramos com o que foi apresentado no exercício. A derivada que escrevemos aqui é:
f'(x) = x^2 cdot 4x^3 - (x^4 + 1) cdot 2x(x^2)^2
E isso é exatamente o que foi mostrado após o símbolo de implicação (Rightarrow) no enunciado. Portanto, o passo (1) está correto.

Resposta

f^prime(x)=x^2(4 x^3)-(x^4+1)(2 x)(x^2)^2

Exercícios relacionados