Considere a função:
. Determine as derivadas de
e
ordem
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos a função
e precisamos encontrar suas derivadas de primeira e segunda ordem.
Conteúdo da matéria: Cálculo Diferencial, mais especificamente derivadas de funções polinomiais.
O que vamos precisar: Saber como derivar funções polinomiais usando a regra do poder, que envolve multiplicar o coeficiente pelo expoente e diminuir o expoente em 1.
Passo 2
Primeira Derivada (
):
Vamos aplicar a regra do poder em cada termo da função:
-
Termo
: - Derivada:
- Derivada:
-
Termo
: - Derivada:
- Derivada:
-
Termo
: - Derivada:
(já que a derivada de é 1)
- Derivada:
-
Termo constante
: - Derivada:
(a derivada de uma constante é sempre zero)
- Derivada:
Somando todas as derivadas:
Passo 3
Segunda Derivada (
):
Agora, vamos derivar
para encontrar a segunda derivada.
-
Termo
: - Derivada:
- Derivada:
-
Termo
: - Derivada:
- Derivada:
-
Termo constante
: - Derivada:
- Derivada:
Somando todas as derivadas:
Resposta
A derivada de primeira ordem da fun��ão é
e a derivada de segunda ordem é
.
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para
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, sendo
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.