Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em (-infinito, infinito)
{e^(2 x), e^(-2 x)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções {e^(2 x), e^(-2 x)} é linearmente dependente ou independente no intervalo (-infinito, infinito). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear sobre combinação linear de funções e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existir pelo menos uma combinação linear delas que resulte na função zero para todo x no intervalo considerado. Ou seja, se existem constantes e , não ambas zero, tais que:

Passo 3

Vamos tentar encontrar essas constantes. Vamos supor que tal relação existe:
Podemos rearranjar isso para:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), temos:
Isso implica que deve ser zero, já que não pode ser constante para todo x. Se , então também deve ser zero para a equação ser satisfeita.

Passo 4

Como a única solução possível é , isso significa que não existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) das funções que resulta na função zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto {e^(2 x), e^(-2 x)} é linearmente independente no intervalo (-infinito, infinito).

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