Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear sobre combinação linear de funções e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existir pelo menos uma combinação linear delas que resulte na função zero para todo
no intervalo considerado. Ou seja, se existem constantes
e
, não ambas zero, tais que:
Passo 3
Vamos tentar encontrar essas constantes. Vamos supor que tal relação existe:
Podemos rearranjar isso para:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), temos:
Isso implica que
deve ser zero, já que
não pode ser constante para todo
. Se
, então
também deve ser zero para a equação ser satisfeita.
Passo 4
Como a única solução possível é
, isso significa que não existe uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) das funções que resulta na função zero. Portanto, as funções são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Um fazendeiro decide destinar uma área retangular de
do seu terreno aos seus três filhos. Essa área deve ser cercada e dividida em três partes iguais como indicado na figura a seguir. A cerca definida para a parte externa é cerca de arame e custa
por metro, e a cerca interna será de madeira e custa
50,00 por metro. Expresse o custo da cerca em função da variável
.
Avalie a derivada resolvida a seguiu, caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica
esteja certo escrever
Resolva as seguintes equações diferenciais
Determine o polinômio de Taylor de ordem
, no ponto
dado, das seguintes funções: