Avalie as integrais abaixo: integral0^pi e^cos t sen 2 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando substituição e integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar essas técnicas de forma passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin 2t = 2 sin t cos t . Sabemos que:
integral0^pi e^cos t cdot 2 sin t cos t , dt = 2 integral0^pi e^cos t sin t cos t , dt
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudt = -sin t Rightarrow sin t , dt = -du . Então, a derivada de 2 integral0^pi e^u cdot u cdot (-du) = -2 integral0^pi u e^u , du em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du usando integração por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:
-2 integral u e^u , du = -2 (u e^u - e^u) + C = -2 u e^u + 2 e^u + C
Substituímos -2 cos t e^cos t + 2 e^cos t + C :

Passo 6

Agora, precisamos avaliar essa expressão nos limites de [-2 cos t e^cos t + 2 e^cos t]0^pi a cos pi = -1 Rightarrow -2 (-1) e^-1 + 2 e^-1 = 2 e^-1 + 2 e^-1 = 4 e^-1 :
cos 0 = 1 Rightarrow -2 (1) e^1 + 2 e^1 = -2 e + 2 e = 0
Calculando para :
Calculando para :

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
integral0^pi e^cos t sin 2t , dt = 4e

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