Determine a derivada. y = 1 / (sen x * tg x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas seno e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para tornar a derivação mais fácil. Sabemos que . Substituindo isso na função original:
Agora, a função está mais simples: .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de . Aqui usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Podemos fatorar no numerador:
E o denominador fica:
Então, a expressão da derivada fica:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 8

Para simplificar ainda mais, lembramos que , então:

Passo 9

Finalmente, podemos deixar a derivada de forma mais limpa:

Resposta

A derivada da função é:

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