Determine a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas seno e tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para tornar a derivação mais fácil. Sabemos que
. Substituindo isso na função original:
Agora, a função está mais simples:
.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
em relação a
, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
. Aqui usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Podemos fatorar
no numerador:
E o denominador fica:
Então, a expressão da derivada fica:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, lembramos que
, então:
Passo 9
Finalmente, podemos deixar a derivada de forma mais limpa:
Resposta
A derivada da função é: