Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
f(x) = x, 0 <= x < 1, período 1 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de e com período 1. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender como representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período tem a forma:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes que vamos calcular.

Passo 3

Vamos calcular , que representa a média da função no período:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes . Para funções ímpares como , os coeficientes de cosseno serão zero, já que a função é ímpar em relação ao ponto médio do período.

Passo 5

Em seguida, calculamos os coeficientes usando a fórmula:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes:
Aplicando integração por partes:
Calculando os limites e a integral restante:
Como , temos:

Passo 6

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a série de Fourier:
Simplificando:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo com período 1 é:

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