Um corpo resfria-se de a em 30 minutos quando imerso em um meio de temperatura constante, igual a . Determine a temperatura do corpo 30 minutos depois de a temperatura ter atingido .
Dê o resultado em graus Celsius e com uma casa decimal

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo que esfria de para em 30 minutos quando está num ambiente que mantêm a temperatura constante de . A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto diminui ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Vamos precisar dessa lei para calcular a temperatura do corpo após mais 30 minutos, ou seja, quando tivermos passado da marca dos .

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton é a chave aqui. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matemáticamente, isso é representado por:
onde:
  • é a temperatura do corpo no tempo ,
  • é a temperatura do ambiente ( ),
  • é a constante de resfriamento que precisamos encontrar.
Para resolver isso, vamos integrar a equação e obter uma fórmula que nos dê em função do tempo:
Aqui, é a temperatura inicial do corpo.

Passo 3

Primeiro, vamos descobrir o valor da constante . Sabemos que o corpo esfria de para em 30 minutos. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 285:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para isolar :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos o valor de , vamos usar a fórmula para encontrar a temperatura após mais 30 minutos, ou seja, 60 minutos no total.
Usando a fórmula:
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

A temperatura do corpo 30 minutos depois de ter atingido é aproximadamente .

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Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, período 1 ;
Determine a derivada.
Determine a derivada.