Um corpo resfria-se de
a
em 30 minutos quando imerso em um meio de temperatura constante, igual a
. Determine a temperatura do corpo 30 minutos depois de a temperatura ter atingido
.
Dê o resultado em graus Celsius e com uma casa decimal
Dê o resultado em graus Celsius e com uma casa decimal
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo que esfria de
para
em 30 minutos quando está num ambiente que mantêm a temperatura constante de
. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto diminui ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente. Vamos precisar dessa lei para calcular a temperatura do corpo após mais 30 minutos, ou seja, quando tivermos passado da marca dos
.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton é a chave aqui. Ela diz que a taxa de mudança da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matemáticamente, isso é representado por:
onde:
-
é a temperatura do corpo no tempo , -
é a temperatura do ambiente ( ), -
é a constante de resfriamento que precisamos encontrar.
Para resolver isso, vamos integrar a equação e obter uma fórmula que nos dê
em função do tempo:
Aqui,
é a temperatura inicial do corpo.
Passo 3
Primeiro, vamos descobrir o valor da constante
. Sabemos que o corpo esfria de
para
em 30 minutos. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 285:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para isolar
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, vamos usar a fórmula para encontrar a temperatura após mais 30 minutos, ou seja, 60 minutos no total.
Usando a fórmula:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
A temperatura do corpo 30 minutos depois de ter atingido
é aproximadamente
.
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Avalie as integrais abaixo:
Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, período 1 ;
Determine a derivada.
Determine a derivada.