Avalie as integrais abaixo:
integral0^pi e^cos t sen 2 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição e propriedades de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que sin 2t = 2 sin t cos t pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
integral0^pi e^cos t sin 2t , dt = integral0^pi e^cos t cdot 2 sin t cos t , dt = 2 integral0^pi e^cos t sin t cos t , dt
Então, substituímos na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher:
u = cos t
Então, a derivada de du = -sin t , dt Rightarrow -du = sin t , dt em relação a u = cos 0 = 1 é:
u = cos pi = -1
Precisamos também ajustar os limites de integração para a variável . Quando :
Quando :

Passo 4

Substituindo na integral original:
2 integral0^pi e^cos t sin t cos t , dt = 2 integral1^-1 e^u cdot cos t cdot (-du)
Notamos que 2 integral1^-1 e^u cdot u cdot (-du) = 2 integral-1^1 e^u cdot u , du ainda está em termos de , mas como , podemos substituir por :
(Observe que trocamos os limites de integração para eliminar o sinal negativo.)

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
2 integral-1^1 u e^u , du
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = u Rightarrow du = du
dv = e^u , du Rightarrow v = e^u

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
2 [ u e^u - e^u ]-1^1 = 2 ( [1 cdot e^1 - e^1] - [-1 cdot e^-1 - e^-1] )
Simplificando cada termo:
= 2 ( [e - e] - [-e^-1 - e^-1] ) = 2 ( 0 - [-2 e^-1] ) = 2 cdot 2 e^-1 = 4 e^-1

Resposta

A integral é igual a .

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