Avalie as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição e propriedades de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, observamos que
pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituímos na integral:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Precisamos também ajustar os limites de integração para a variável
. Quando
:
Quando
:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Notamos que
ainda está em termos de
, mas como
, podemos substituir
por
:
(Observe que trocamos os limites de integração para eliminar o sinal negativo.)
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Simplificando cada termo:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
(a) Mostre que se
for uma constante positiva, então
em que
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Seja
um campo vetorial dado por
. Prove que se
é um campo gradiente, então,
. É verdade a recíproca?