Avalie as integrais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar substituição e propriedades de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituímos na integral:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher:
Então, a derivada de em relação a é:
Precisamos também ajustar os limites de integração para a variável . Quando :
Quando :

Passo 4

Substituindo na integral original:
Notamos que ainda está em termos de , mas como , podemos substituir por :
(Observe que trocamos os limites de integração para eliminar o sinal negativo.)

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Simplificando cada termo:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
(a) Mostre que se for uma constante positiva, então
em que
Determine o valor de para que a função
seja contínua em .
Seja um campo vetorial dado por . Prove que se é um campo gradiente, então, . É verdade a recíproca?