Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
g(x)=integralraizx^2 x arctg t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos ajuda a derivar integrais onde os limites são funções de .

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 nos diz que se , então . Isso significa que, para derivar uma integral com limites variáveis, derivamos a função dentro da integral em relação ao limite superior e multiplicamos pela derivada desse limite, e fazemos o mesmo para o limite inferior, mas com sinal negativo.

Passo 3

Aplicando esse teorema à nossa função g'(x) = f(u(x)) cdot u'(x) - f(v(x)) cdot v'(x) , identificamos:
  • Limite superior:
  • Limite inferior:
Então, a derivada de será:

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada do limite superior:
    u'(x) = ddx(2x) = 2
  2. Derivada do limite inferior:
    v'(x) = ddx(raizx) = 12raizx
  3. Função avaliada nos limites:

Passo 5

Substituindo todas essas partes na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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