Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o valor de
de forma que a função
seja contínua no ponto
. Para que isso aconteça, o limite da função quando
se aproxima de
precisa ser igual a
. Ou seja, precisamos calcular:
Vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e, para facilitar, vamos utilizar coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares temos:
onde
é a distância do ponto ao origem e
é o ângulo. Substituindo na função, temos:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculemos o denominador:
Agora, substituindo de volta na função:
Simplificando ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Esse limite é independente de
, ou seja, vale sempre 1, não importa o caminho que a gente escolha para chegar a
.
Resposta
Portanto, para que a função
seja contínua em
, o valor de
deve ser igual a 1.
Exercícios relacionados
Avalie as integrais abaixo:
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Seja
um campo vetorial dado por
. Prove que se
é um campo gradiente, então,
. É verdade a recíproca?
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
10.
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