Determine o valor de K para que a função
g(x, y) = { (2 x^2 y) / (x^2 + y^2) + 1, se (x, y) ≠ (0, 0) ; K, se (x, y) = (0, 0) }
seja contínua em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar o valor de de forma que a função seja contínua no ponto . Para que isso aconteça, o limite da função quando se aproxima de precisa ser igual a . Ou seja, precisamos calcular:
Vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e, para facilitar, vamos utilizar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em coordenadas polares. Lembra que em coordenadas polares temos:
onde é a distância do ponto ao origem e é o ângulo. Substituindo na função, temos:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, calculemos o denominador:
Agora, substituindo de volta na função:
Simplificando ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:
Esse limite é independente de , ou seja, vale sempre 1, não importa o caminho que a gente escolha para chegar a .

Resposta

Portanto, para que a função seja contínua em , o valor de deve ser igual a 1.

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