(a) Mostre que se
for uma constante positiva, então
em que
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar uma propriedade da Transformada de Laplace, especificamente relacionada a um atraso no tempo usando a função escalonamento unitário
. A gente vai precisar lembrar como funciona a definição da Transformada de Laplace e entender o que é essa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada é dada por:
No nosso caso, temos
, que basicamente significa que a função
começa a existir a partir de
, devido ao
.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa função:
Como
é zero para
e um para
, podemos ajustar os limites da integral de 0 a
para
a
:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
e
. Alterando os limites da integral:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Podemos separar o expoente:
E reconhecemos que a integral é exatamente a Transformada de Laplace de
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Calcule a integral.
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Avalie as integrais abaixo: