(a) Mostre que se for uma constante positiva, então
em que

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para mostrar uma propriedade da Transformada de Laplace, especificamente relacionada a um atraso no tempo usando a função escalonamento unitário . A gente vai precisar lembrar como funciona a definição da Transformada de Laplace e entender o que é essa função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função , a transformada é dada por:
No nosso caso, temos , que basicamente significa que a função começa a existir a partir de , devido ao .

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace nessa função:
Como é zero para e um para , podemos ajustar os limites da integral de 0 a para a :

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então e . Alterando os limites da integral:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Podemos separar o expoente:
E reconhecemos que a integral é exatamente a Transformada de Laplace de :

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Calcule a integral.
Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo:
Avalie as integrais abaixo: