Avalie as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e identificação de funções derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições básicas das funções cotangente e cossecante:
Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno:
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos escolher
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Perceba que
. E sabemos que
. Então, substituindo:
Passo 5
Vamos expandir o numerador:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta:
Passo 8
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, não precisamos do termo da constante
. Vamos avaliar cada termo nos limites de integração.
Passo 9
Calculando nos limites:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 10
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 11
Somando os valores:
Calculando os termos com
e somando:
Após simplificação, encontramos que o valor final da integral é:
Resposta
Exercícios relacionados
Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
ou diverge.
( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada:
Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.