Avalie as integrais abaixo:
integralpi / 4^pi / 2 cotg^5 theta cossec^3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de de até . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e identificação de funções derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições básicas das funções cotangente e cossecante:
cot theta = cos thetasin theta
csc theta = 1sin theta
Então, podemos reescrever a integral em termos de seno e cosseno:
cot^5 theta csc^3 theta = (cos thetasin theta)^5 (1sin theta)^3 = cos^5 thetasin^8 theta

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos escolher dudtheta = cos theta implies du = cos theta , dtheta . Assim, a derivada de em relação a é:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral cos^5 thetasin^8 theta , dtheta = integral cos^4 theta cdot cos thetasin^8 theta , dtheta :
integral (1 - u^2)^2u^8 , du
Perceba que . E sabemos que . Então, substituindo:

Passo 5

Vamos expandir o numerador:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo na integral:
integral 1 - 2u^2 + u^4u^8 , du = integral ( u^-8 - 2u^-6 + u^-4 ) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^-8 , du = u^-7-7 = -17u^7
integral -2u^-6 , du = -2 cdot u^-5-5 = 25u^5
integral u^-4 , du = u^-3-3 = -13u^3
Juntando tudo:
-17u^7 + 25u^5 - 13u^3 + C

Passo 7

Agora, substituímos -17sin^7 theta + 25sin^5 theta - 13sin^3 theta + C de volta:

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de a , não precisamos do termo da constante . Vamos avaliar cada termo nos limites de integração.

Passo 9

Calculando nos limites:
Para sin pi2 = 1 :
-17(1)^7 + 25(1)^5 - 13(1)^3 = -17 + 25 - 13
Então:
sin pi4 = raiz22
Para -17(raiz22)^7 + 25(raiz22)^5 - 13(raiz22)^3 :
Então:

Passo 10

Vamos calcular cada parte:
Para -17 + 25 - 13 = -15105 + 42105 - 35105 = -15 + 42 - 35105 = -8105 :
(raiz22)^7 = 2^3.52^7 = 2^3.5128 = 8raiz2128 = raiz216
Para (raiz22)^5 = 2^2.532 = 4raiz232 = raiz28 :
(raiz22)^3 = 2^1.58 = 2raiz28 = raiz24
-17 cdot raiz216 + 25 cdot raiz28 - 13 cdot raiz24 = -167raiz2 + 165raiz2 - 43raiz2
Então:

Passo 11

Somando os valores:
-8105 - (-167raiz2 + 165raiz2 - 43raiz2)
Calculando os termos com e somando:
Após simplificação, encontramos que o valor final da integral é:

Resposta

boxed-8105

Exercícios relacionados

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Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
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Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo f e mostre que são contínuas.
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