Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é diferenciável. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois mostrar que essas derivadas são contínuas. Se tudo der certo, podemos concluir que a função é diferenciável. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
.
Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
Usando a mesma regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais
e
, precisamos mostrar que elas são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para as expressões:
Vemos que o denominador
nunca é zero, já que
. Além disso, ambas as funções são formadas por polinômios no numerador e no denominador, o que significa que elas são contínuas onde o denominador não é zero. Como garantimos que o denominador é sempre positivo, concluímos que
e
são contínuas em todo o domínio.
Passo 5
Com as derivadas parciais contínuas, podemos usar o Teorema de Diferenciabilidade, que nos diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que
e
são contínuas em todo o domínio, concluímos que
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o seu domínio porque suas derivadas parciais
e
são contínuas.
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( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada:
Avalie as integrais abaixo:
(1,0 ponto) Dada a equação
, encontre
por diferenciação implícita.
(1,0 ponto) Dada a função
, determine ou faça o que se pede: Um esboço completo do gráfico de
.