Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo f e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y) = arctan(x * y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é diferenciável. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois mostrar que essas derivadas são contínuas. Se tudo der certo, podemos concluir que a função é diferenciável. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Lembre-se que a derivada de em relação a é .
Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de .
Usando a mesma regra da cadeia:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais e , precisamos mostrar que elas são contínuas em todo o domínio da função. Olhando para as expressões:
Vemos que o denominador nunca é zero, já que . Além disso, ambas as funções são formadas por polinômios no numerador e no denominador, o que significa que elas são contínuas onde o denominador não é zero. Como garantimos que o denominador é sempre positivo, concluímos que e são contínuas em todo o domínio.

Passo 5

Com as derivadas parciais contínuas, podemos usar o Teorema de Diferenciabilidade, que nos diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que e são contínuas em todo o domínio, concluímos que é diferenciável em todo o seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável em todo o seu domínio porque suas derivadas parciais e são contínuas.

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( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada: f(x) = raiz(25) - (2 * x^5) / 5 - (1 / 20) * x^40 + (1 / 3) * x^60
Avalie as integrais abaixo:
integralpi / 4^pi / 2 cotg^5 theta cossec^3 theta d theta
(1,0 ponto) Dada a equação x^3 + y^3 - 12 x y = 13, encontre d/y d/x por diferenciação implícita.
(1,0 ponto) Dada a função f(x) = 4x^3 - x^4, determine ou faça o que se pede: Um esboço completo do gráfico de f.