Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais da função
e mostrar que elas são contínuas. Depois, precisamos verificar se a função é diferenciável. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e análise de diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais:
Vamos verificar se elas são contínuas. Para isso, analisamos cada derivada:
-
é uma função exponencial composta por polinômios, o que é contínuo em todo o . -
é o produto de polinômios e uma função exponencial, também contínua em todo o .
Como as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio, as condições para diferenciabilidade são atendidas.
Resposta
A função
possui derivadas parciais contínuas e, portanto, é diferenciável.
Exercícios relacionados
ou diverge.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Avalie as integrais abaixo:
( 2,0 pontos) Calcule a derivada da função dada: