Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo f e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
f(x, y) = e^(x - y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular as derivadas parciais da função e mostrar que elas são contínuas. Depois, precisamos verificar se a função é diferenciável. Isso tá dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e análise de diferenciabilidade. Para resolver, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que significa uma função ser diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais:
Vamos verificar se elas são contínuas. Para isso, analisamos cada derivada:
  1. é uma função exponencial composta por polinômios, o que é contínuo em todo o .
  2. é o produto de polinômios e uma função exponencial, também contínua em todo o .
Como as derivadas parciais são contínuas em todo o domínio, as condições para diferenciabilidade são atendidas.

Resposta

A função possui derivadas parciais contínuas e, portanto, é diferenciável.

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