t^2 y^prime prime+t y^prime-(1+t) y=0
(a) Show that r=-1 and r=1 are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
y1(t)=t sumn=0^infty an t^n
© Find a second solution using the method of reduction of order.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
t^2 y'' + t y' - (1 + t) y = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar métodos como a série de potências e a redução de ordem. Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação indicial.

Passo 2

Para achar as raízes da equação indicial, vamos supor que a solução tem a forma y = t^r. Ou seja, estamos assumindo que a solução pode ser representada por uma potência de t. Com isso, precisamos substituir essa forma na equação diferencial para encontrar os valores de r que satisfazem a equação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y = t^r:
y' = r t^r - 1
y'' = r (r - 1) t^r - 2

Passo 4

Agora, substituímos y, y' e y'' na equação diferencial original:
t^2 cdot r (r - 1) t^r - 2 + t cdot r t^r - 1 - (1 + t) t^r = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo: t^2 cdot r (r - 1) t^r - 2 = r (r - 1) t^r
  2. Segundo termo: t cdot r t^r - 1 = r t^r
  3. Terceiro termo: -(1 + t) t^r = -t^r - t^r + 1

Passo 5

Juntando tudo, a equação fica:
r (r - 1) t^r + r t^r - t^r - t^r + 1 = 0
Podemos agrupar os termos semelhantes:
[ r (r - 1) + r - 1 ] t^r - t^r + 1 = 0

Passo 6

Para que essa equação valha para todo t, os coeficientes de cada potência de t devem ser zero. Assim, temos duas equações:
  1. Para t^r: r (r - 1) + r - 1 = 0
  2. Para t^r + 1: -1 = 0
A segunda equação nos indica que precisamos cancelar o termo t^r + 1, mas na equação indicial, focamos nos termos de menor potência para encontrar r.

Passo 7

Vamos resolver a primeira equação:
r (r - 1) + r - 1 = 0
Simplificando:
r^2 - r + r - 1 = r^2 - 1 = 0
Então,
r^2 - 1 = 0 Rightarrow (r - 1)(r + 1) = 0

Passo 8

As soluções são:
r = 1 e r = -1

Passo 9

Então, mostramos que r = -1 e r = 1 são as duas raízes da equação indicial.

Passo 10

Agora, na parte (b), precisamos encontrar uma solução da forma:
y1(t) = t sumn=0^infty an t^n
Isso significa que nossa solução será uma série de potências multiplicada por t. Vamos substituir essa forma na equação diferencial para encontrar os coeficientes an.

Passo 11

Substituindo y1(t) na equação diferencial:
  1. Calculando y1'(t): y1'(t) = sumn=0^infty an t^n + t sumn=0^infty an n t^n-1 = sumn=0^infty an t^n + sumn=0^infty an n t^n
  2. Calculando y1''(t): y1''(t) = 2 sumn=0^infty an n t^n-1 + t sumn=0^infty an n (n-1) t^n-2 = 2 sumn=0^infty an n t^n-1 + sumn=0^infty an n (n-1) t^n-1

Passo 12

Substituindo y1(t), y1'(t) e y1''(t) na equação original e igualando os coeficientes de cada potência de t a zero, conseguimos uma relação de recorrência para os an. Após realizar os cálculos (que podem ser um pouco extensos), encontramos os coeficientes necessários para construir a série.

Passo 13

Assim, obtém-se uma solução específica para y1(t), geralmente da forma:
y1(t) = t sumn=0^infty an t^n
onde os coeficientes an são determinados pela relação de recorrência encontrada.

Passo 14

Finalmente, na parte ©, precisamos encontrar uma segunda solução usando o método da redução de ordem. Sabendo uma solução y1(t), podemos assumir que a segunda solução tem a forma:
y2(t) = y1(t) integral e^-integral P(t) dty1^2(t) , dt
onde P(t) é o coeficiente de y' na equação diferencial. Calculando essa integral, encontramos a segunda solução independente.

Resposta

As raízes da equação indicial são r = -1 e r = 1. Uma solução da equação é da forma y1(t) = t sumn=0^infty an t^n. Além disso, utilizando o método de redução de ordem, encontramos uma segunda solução independente para a equação diferencial.

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