(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
© Find a second solution using the method of reduction of order.
(b) Find one solution of the form
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar usar métodos como a série de potências e a redução de ordem. Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação indicial.
Passo 2
Para achar as raízes da equação indicial, vamos supor que a solução tem a forma
. Ou seja, estamos assumindo que a solução pode ser representada por uma potência de
. Com isso, precisamos substituir essa forma na equação diferencial para encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 5
Juntando tudo, a equação fica:
Podemos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa equação valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser zero. Assim, temos duas equações:
- Para
: - Para
:
A segunda equação nos indica que precisamos cancelar o termo
, mas na equação indicial, focamos nos termos de menor potência para encontrar
.
Passo 7
Vamos resolver a primeira equação:
Simplificando:
Então,
Passo 8
As soluções são:
Passo 9
Então, mostramos que
e
são as duas raízes da equação indicial.
Passo 10
Agora, na parte (b), precisamos encontrar uma solução da forma:
Isso significa que nossa solução será uma série de potências multiplicada por
. Vamos substituir essa forma na equação diferencial para encontrar os coeficientes
.
Passo 11
Substituindo
na equação diferencial:
- Calculando
: - Calculando
:
Passo 12
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, conseguimos uma relação de recorrência para os
. Após realizar os cálculos (que podem ser um pouco extensos), encontramos os coeficientes necessários para construir a série.
Passo 13
Assim, obtém-se uma solução específica para
, geralmente da forma:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência encontrada.
Passo 14
Finalmente, na parte ©, precisamos encontrar uma segunda solução usando o método da redução de ordem. Sabendo uma solução
, podemos assumir que a segunda solução tem a forma:
onde
é o coeficiente de
na equação diferencial. Calculando essa integral, encontramos a segunda solução independente.
Resposta
As raízes da equação indicial são
e
. Uma solução da equação é da forma
. Além disso, utilizando o método de redução de ordem, encontramos uma segunda solução independente para a equação diferencial.
Exercícios relacionados
Encontre
, justificando todas as suas passagens.
Avalie as integrais abaixo:
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.