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, justificando todas as suas passagens.
Passo 1
Então, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores
e
, respectivamente. Vamos chamar:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Primeiro, vamos escolher
:
Agora, escolhemos
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então aplicamos isso aqui.
Passo 7
Calculando as integrais:
Substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral definida é igual a
.