Encontre integral2^3 2 x+3(x-1)(x+2) d x, justificando todas as suas passagens.

Passo 1

Então, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, precisamos decompor a fração 2x + 3(x - 1)(x + 2) = Ax - 1 + Bx + 2 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de duas frações com denominadores e , respectivamente. Vamos chamar:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 2x + 3 = A(x + 2) + B(x - 1) para eliminar as frações:
Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Primeiro, vamos escolher 2(1) + 3 = A(1 + 2) + B(1 - 1) 5 = 3A + 0 A = 53 :
2(-2) + 3 = A(-2 + 2) + B(-2 - 1) -4 + 3 = 0 + B(-3) -1 = -3B B = 13
Agora, escolhemos :

Passo 5

Com os valores de 2x + 3(x - 1)(x + 2) = 53x - 1 + 13x + 2 = 53(x - 1) + 13(x + 2) e encontrados, podemos reescrever a fração original:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral2^3 ( 53(x - 1) + 13(x + 2) ) , dx = 53 integral2^3 1x - 1 , dx + 13 integral2^3 1x + 2 , dx
Sabemos que , então aplicamos isso aqui.

Passo 7

Calculando as integrais:
53 [ ln|x - 1| ]2^3 + 13 [ ln|x + 2| ]2^3
Substituindo os limites de integração:
53 (ln(3 - 1) - ln(2 - 1)) + 13 (ln(3 + 2) - ln(2 + 2))
Simplificando:
53 (ln 2 - ln 1) + 13 (ln 5 - ln 4)
Sabemos que 53 ln 2 + 13 (ln 5 - ln 4) , então:

Resposta

A integral definida é igual a .

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