Avalie as integrais:
(i) integral sen(3 t) cos (2 t) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral de sin(3t) cos(2t) , dt. Para isso, vamos utilizar identidades trigonométricas que vão simplificar o produto de seno e cosseno, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos:
sin(a)cos(b) = sin(a + b) + sin(a - b)2
Aplicando isso na nossa integral:
sin(3t)cos(2t) = sin(5t) + sin(t)2

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral sin(3t)cos(2t) , dt = integral sin(5t) + sin(t)2 , dt = 12 integral sin(5t) , dt + 12 integral sin(t) , dt

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de sin(nt) é:
integral sin(nt) , dt = -cos(nt)n + C
Aplicando isso aos nossos termos:
12 integral sin(5t) , dt = 12 (-cos(5t)5) = -cos(5t)10
12 integral sin(t) , dt = 12 (-cos(t)) = -cos(t)2

Resposta

integral sin(3t)cos(2t) , dt = -cos(5t)10 - cos(t)2 + C

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