Calcule as integrais:
(d) integral1^4 x^3 / 2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos derivar e integrar.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u = ln x e dv = x^3/2 dx e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver. Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1x dx e v = integral x^3/2 dx = 25 x^5/2 e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^3/2 ln x , dx = uv - integral v , du = ln x cdot 25 x^5/2 - integral 25 x^5/2 cdot 1x dx
Simplificando a segunda integral:
25 integral x^3/2 dx = 25 cdot 25 x^5/2 = 425 x^5/2

Passo 5

Agora, juntando tudo:
integral x^3/2 ln x , dx = 25 x^5/2 ln x - 425 x^5/2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Como a integral é definida de 1 a 4, vamos calcular:
[ 25 x^5/2 ln x - 425 x^5/2 ]1^4
Calculando em 25 cdot 4^5/2 ln 4 - 425 cdot 4^5/2 :
25 cdot 32 ln 4 - 425 cdot 32 = 645 ln 4 - 12825
Sabendo que 25 cdot 1^5/2 ln 1 - 425 cdot 1^5/2 = 0 - 425 = -425 , temos:
Em :

Passo 7

Subtraindo os valores:
( 645 ln 4 - 12825 ) - ( -425 ) = 645 ln 4 - 12425

Resposta

A integral 645 ln 4 - 12425 é igual a:
645 ln 4 approx 17.6 e 12425 = 4.96
Aproximando os valores numéricos:
17.6 - 4.96 = 12.64
Logo:
Portanto, a resposta final é aproximadamente 12,64.

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