(a) integral0^pi / 8 sen(2 x) d x

Passo 1

A gente tem que calcular a integral definida de sen(2x) de 0 até pi/8. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo seno com um múltiplo do x dentro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de sen(kx) em relação a x é -dfraccos(kx)k + C, onde k é uma constante. No nosso caso, k = 2.
Então,
integral sen(2x) , dx = -dfraccos(2x)2 + C

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração, de 0 até pi/8:
[ -dfraccos(2x)2 ]0^pi/8 = -dfraccos(2 cdot dfracpi8)2 + dfraccos(0)2
Simplificando os argumentos:
= -dfraccos(dfracpi4)2 + dfrac12
Sabemos que cos(dfracpi4) = dfracraiz22, então:
= -dfracraiz2/22 + dfrac12 = -dfracraiz24 + dfrac12
Para simplificar, colocamos em frações de mesmo denominador:
= dfrac12 - dfracraiz24 = dfrac2 - raiz24

Resposta

O valor da integral é dfrac2 - raiz24.

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