Avalie a integral. integral-2|x^2-4 x| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral-2^a|x^2-4 x| dx. Primeiro, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que envolvem valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto, x^2 - 4x, muda de sinal. Isso vai nos ajudar a dividir a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Vamos começar encontrando os valores de x que fazem x^2 - 4x = 0. Isso significa resolver a equação quadrática:
x^2 - 4x = 0 x(x - 4) = 0 x = 0 ou x = 4
Então, os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal são x = 0 e x = 4.

Passo 3

Agora, precisamos determinar onde x^2 - 4x é positivo ou negativo:
  • Para x < 0: Vamos testar x = -1:
    (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 (positivo)
  • Para 0 < x < 4: Vamos testar x = 2:
    (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 (negativo)
  • Para x > 4: Vamos testar x = 5:
    (5)^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5 (positivo)
Então, a expressão x^2 - 4x é positiva para x < 0 e x > 4, e negativa para 0 < x < 4.

Passo 4

Com isso, podemos dividir a integral em partes onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa:
integral-2^a|x^2-4 x| dx = integral-2^0 (x^2 - 4x) dx + integral0^4 -(x^2 - 4x) dx + integral4^a (x^2 - 4x) dx
Aqui, substituímos o valor absoluto por (x^2 - 4x) quando é positivo e por -(x^2 - 4x) quando é negativo.

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
    integral-2^0 (x^2 - 4x) dx = [x^33 - 2x^2]-2^0 = (0 - 0) - ((-2)^33 - 2(-2)^2) = 0 - (-83 - 8) = 83 + 8 = 323
  2. Segunda integral:
    integral0^4 -(x^2 - 4x) dx = -integral0^4 (x^2 - 4x) dx = -[x^33 - 2x^2]0^4 = -(643 - 32 - 0 + 0) = -(643 - 32) = -(643 - 963) = -(-323) = 323
  3. Terceira integral:
    integral4^a (x^2 - 4x) dx = [x^33 - 2x^2]4^a = (a^33 - 2a^2) - (643 - 32) = a^33 - 2a^2 - 643 + 32

Resposta

A integral avaliada é:
integral-2^a|x^2-4 x| dx = 323 + 323 + (a^33 - 2a^2 - 643 + 32) = 643 + a^33 - 2a^2 - 643 + 32 = a^33 - 2a^2 + 32
Então, o valor final da integral é:
a^33 - 2a^2 + 32

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