Avalie a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui a gente vai mexer com funções radicais e integrais que envolvem polinômios de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado dentro da raiz e usar uma substituição trigonométrica básica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar a integral, vamos reescrever essa expressão completando o quadrado.
Começamos organizando os termos:
Agora, fatoramos o sinal negativo dos termos quadráticos:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos 1 (já que
):
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 3
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar
. Assim,
. Substituindo na integral:
Essa é uma integral padrão que envolve uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados, e sabemos que ela está relacionada com funções trigonométricas.
Passo 4
A integral
tem uma solução conhecida:
No nosso caso,
, então aplicando a fórmula:
Passo 5
Finalmente, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral avaliada é: