Avalie a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui a gente vai mexer com funções radicais e integrais que envolvem polinômios de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado dentro da raiz e usar uma substituição trigonométrica básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Para facilitar a integral, vamos reescrever essa expressão completando o quadrado.
Começamos organizando os termos:
Agora, fatoramos o sinal negativo dos termos quadráticos:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos 1 (já que ):
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Assim, . Substituindo na integral:
Essa é uma integral padrão que envolve uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados, e sabemos que ela está relacionada com funções trigonométricas.

Passo 4

A integral tem uma solução conhecida:
No nosso caso, , então aplicando a fórmula:

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral avaliada é:

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Avalie a integral.
Avalie a integral.
Encontre a função inversa de
Se e , encontre cada uma das funções e seus domínios.
(a)