Avalie a integral. integral raiz3-2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz3-2x-x^2 , dx. Aqui a gente vai mexer com funções radicais e integrais que envolvem polinômios de segundo grau. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado dentro da raiz e usar uma substituição trigonométrica básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 3 - 2x - x^2. Para facilitar a integral, vamos reescrever essa expressão completando o quadrado.
Começamos organizando os termos:
- x^2 - 2x + 3
Agora, fatoramos o sinal negativo dos termos quadráticos:
- (x^2 + 2x) + 3
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos 1 (já que (2/2)^2 = 1):
- (x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = - (x + 1)^2 + 1 + 3 = - (x + 1)^2 + 4
Então, a expressão dentro da raiz fica:
raiz4 - (x + 1)^2

Passo 3

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar u = x + 1. Assim, du = dx. Substituindo na integral:
integral raiz4 - u^2 , du
Essa é uma integral padrão que envolve uma raiz quadrada de uma diferença de quadrados, e sabemos que ela está relacionada com funções trigonométricas.

Passo 4

A integral integral raiza^2 - u^2 , du tem uma solução conhecida:
u2 raiza^2 - u^2 + a^22 arcsin(ua) + C
No nosso caso, a = 2, então aplicando a fórmula:
u2 raiz4 - u^2 + 2 arcsin(u2) + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original x. Lembrando que u = x + 1, substituímos de volta:
(x + 1)2 raiz4 - (x + 1)^2 + 2 arcsin(x + 12) + C

Resposta

A integral avaliada é:
(x + 1)2 raiz4 - (x + 1)^2 + 2 arcsin(x + 12) + C

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